평균, 제대로 구하고 제대로 읽기

평균은 '똑같이 나누면 얼마'예요

우리가 흔히 말하는 평균은 산술평균이에요. 모든 값을 더한 뒤 개수로 나눠요. 다섯 번 본 쪽지 시험 점수가 72, 85, 90, 68, 95점이라면 합은 410점이고, 410 ÷ 5 = 82점이 평균이에요.

평균은 '모두가 똑같이 나눠 가지면 하나에 얼마씩인가'로 생각하면 쉬워요. 그래서 평균에 개수를 곱하면 항상 합계가 돌아와요. 82 × 5 = 410이죠. 이 성질 하나로 뒤에 나오는 '목표 점수' 계산도 풀 수 있어요.

평균에는 또 하나 재미있는 성질이 있어요. 각 값에서 평균을 뺀 차이를 모두 더하면 항상 0이에요. 위 점수에서 82를 빼면 −10, +3, +8, −14, +13이고, 더하면 정확히 0이에요. 평균보다 높은 쪽과 낮은 쪽이 딱 균형을 이루는 점이 평균이라는 뜻이에요. 손으로 구한 평균이 맞는지 확인할 때 이 방법을 쓰면 편해요.

값이 하나 추가되면 평균은 그 값 쪽으로 움직여요. 다섯 명의 평균이 82점인데 94점인 사람이 한 명 더 오면 (410 + 94) ÷ 6 = 84점이 돼요. 82점보다 높은 사람이 들어왔으니 평균이 올라간 거예요.

같은 값이 여러 번 나오는 자료는 '값 × 개수'를 모두 더해 전체 개수로 나눠요. 20명의 점수가 아래 표와 같다면 합계는 120 + 350 + 640 + 360 + 100 = 1,570점이고 평균은 1,570 ÷ 20 = 78.5점이에요.

점수	사람 수	점수 × 사람 수
60점	2명	120
70점	5명	350
80점	8명	640
90점	4명	360
100점	1명	100

숫자가 비슷비슷할 때는 기준값을 하나 정해 두면 암산이 쉬워요. 97, 102, 99, 104, 98의 평균을 구할 때 100을 기준으로 차이만 적으면 −3, +2, −1, +4, −2이고, 이걸 더하면 0이에요. 차이의 평균이 0이니 평균은 그대로 100이에요. 큰 수를 다 더하지 않아도 되는 방법이에요.

합계를 이용하면 빠진 값도 찾을 수 있어요. 네 명의 평균이 80점(합계 320점)이었는데 한 명이 빠진 뒤 남은 세 명의 평균이 78점(합계 234점)이라면, 빠진 사람의 점수는 320 − 234 = 86점이에요.

무게가 다르면 가중평균을 써요

모든 값이 같은 무게를 갖지 않을 때가 있어요. 일주일에 4시간 배우는 과목과 1시간 배우는 과목의 점수를 똑같이 취급하면 불공평하죠. 이럴 땐 각 값에 무게(가중치)를 곱해 더한 뒤, 무게의 합으로 나누는 가중평균을 써요.

과목	점수	단위 수	점수 × 단위 수
국어	90	4	360
수학	80	4	320
영어	70	3	210
음악	100	1	100

곱한 값의 합은 990이고 단위 수의 합은 12라서 가중평균은 990 ÷ 12 = 82.5점이에요. 네 점수를 그냥 평균 내면 (90 + 80 + 70 + 100) ÷ 4 = 85점인데, 단위 수가 1뿐인 음악의 100점이 지나치게 크게 반영된 값이에요. 학교나 기관마다 성적을 내는 방식은 다를 수 있으니 실제 성적은 안내된 기준을 따르세요.

평균의 평균도 가중평균으로 구해야 해요. 20명인 반의 평균이 80점, 30명인 반의 평균이 70점이라면 두 반 전체 평균은 (80 + 70) ÷ 2 = 75점이 아니에요. 합계를 다시 구하면 20 × 80 + 30 × 70 = 3,700점이고, 3,700 ÷ 50 = 74점이에요. 사람이 더 많은 반 쪽으로 평균이 끌려가요.

속도의 평균도 함정이 있어요. 120km 거리를 갈 때 시속 60km, 올 때 시속 40km로 달렸다면 평균 속도는 50km가 아니에요. 가는 데 2시간, 오는 데 3시간이 걸렸으니 240km ÷ 5시간 = 시속 48km예요. 느리게 달린 시간이 더 길어서 그쪽에 무게가 더 실린 거예요.

중앙값과 최빈값

중앙값: 값을 크기순으로 늘어놓았을 때 한가운데 있는 값이에요. 3, 5, 7, 8, 100이라면 중앙값은 7이에요. 개수가 짝수면 가운데 두 값의 평균을 써요. 2, 4, 6, 10의 중앙값은 (4 + 6) ÷ 2 = 5예요.
최빈값: 가장 많이 나온 값이에요. 신발 치수가 250, 255, 255, 260, 265, 255, 270이라면 255가 세 번 나와서 최빈값은 255예요. 가게에서 어떤 치수를 많이 준비할지 정할 때는 평균(약 258.6)보다 최빈값이 쓸모 있어요.

앞의 점수 표에서는 20명 중 10번째와 11번째가 모두 80점이라서 중앙값도 80점, 가장 많은 8명이 받은 점수도 80점이라 최빈값도 80점이에요. 평균 78.5점과는 조금 달라요.

평균이 속이는 경우

평균은 아주 크거나 작은 값 하나에 크게 흔들려요. 3, 5, 7, 8, 100의 평균은 123 ÷ 5 = 24.6인데, 다섯 개 중 네 개가 10보다 작아요. 열 명 중 아홉 명이 한 달에 책을 1권 읽고, 한 명이 31권을 읽었다면 평균은 (9 + 31) ÷ 10 = 4권이에요. '평균 4권'이라는 말만 들으면 대부분이 4권쯤 읽는 것처럼 느껴지지만 실제로는 열 명 중 아홉 명이 1권이에요. 이럴 땐 중앙값(1권)이 실제 모습을 더 잘 보여 줘요.

'평균 수심 1m인 강'이라는 말도 비슷해요. 가장자리는 얕고 가운데는 2m가 넘을 수 있어요. 평균을 볼 때는 가장 큰 값과 가장 작은 값, 중앙값을 함께 보는 습관을 들이면 속지 않아요. 비율이 해마다 바뀌는 경우의 평균(연평균 증가율)은 더하는 평균이 아니라 곱하는 평균이라서 증감률 계산 가이드에서 따로 다뤄요.

목표 평균을 위해 다음에 몇 점이 필요할까요

'평균 × 개수 = 합계'를 쓰면 돼요. 지금까지 세 번 시험에서 78, 84, 81점을 받았고, 네 번째 시험 뒤 평균을 82점으로 만들고 싶다고 해 볼게요.

목표 합계: 82 × 4 = 328점
지금까지의 합계: 78 + 84 + 81 = 243점
필요한 점수: 328 − 243 = 85점

목표가 불가능한 경우도 계산으로 알 수 있어요. 다섯 번 중 네 번을 봤고 평균이 80점인데 최종 평균 85점을 원한다면 85 × 5 − 80 × 4 = 425 − 320 = 105점이 필요해요. 만점이 100점이라면 이 목표는 이룰 수 없고, 최선을 다해도 (320 + 100) ÷ 5 = 84점이 최대예요.

비율이 정해진 경우도 같아요. 중간고사 40%, 기말고사 60%로 반영되고 중간고사가 70점일 때 최종 80점을 원하면, 0.4 × 70 = 28점이 이미 확보된 셈이에요. 남은 52점을 기말이 채워야 하니 52 ÷ 0.6 = 86.66…, 곧 기말에서 약 86.7점 이상이 필요해요. 점수가 정수라면 87점이에요. 이런 나눗셈은 기본 계산기로, 비율 계산은 퍼센트 계산기로 확인하면 편해요.

흔한 실수

평균끼리 평균 내요. 인원이나 무게가 다르면 합계부터 다시 구하세요.
0을 빼먹어요. 0점도 하나의 값이라서 개수에 넣어야 해요.
평균을 '대부분의 값'으로 읽어요. 치우친 자료는 중앙값을 함께 보세요.
중앙값을 구할 때 정렬을 안 해요. 먼저 크기순으로 늘어놓아야 해요.

자주 묻는 질문

평균이 소수로 나오면 반올림해도 되나요?
보고할 때는 괜찮지만, 그 평균으로 다시 계산할 때는 반올림 전 값을 쓰세요. 반올림 규칙은 반올림 가이드에 정리했어요.

최빈값이 여러 개일 수도 있나요?
네. 두 값이 똑같이 가장 많이 나오면 둘 다 최빈값이에요. 모든 값이 한 번씩만 나오면 최빈값이 없다고 해요.

평균과 중앙값 중 무엇을 써야 하나요?
값이 고르게 퍼져 있으면 평균, 아주 크거나 작은 값이 섞여 있으면 중앙값이 실제 모습을 더 잘 보여 줘요.

평균이 같으면 두 자료가 비슷한 건가요?
꼭 그렇지는 않아요. 80, 80, 80과 60, 80, 100은 평균이 모두 80이지만 앞은 고르고 뒤는 넓게 퍼져 있어요. 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차이(범위)를 함께 보면 이런 차이가 드러나요.

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