로그, ‘몇 번 곱했나’로 이해하기

로그는 '몇 번 곱했나'예요

2를 세 번 곱하면 8이에요(2 × 2 × 2 = 8, 곧 2³ = 8). 거꾸로 '2를 몇 번 곱하면 8이 될까?'를 묻는 것이 로그예요. 답은 3이고, 이렇게 써요.

log₂ 8 = 3 (밑 2를 3번 곱하면 8)

아래 작은 숫자를 밑, 로그 안의 수를 진수라고 해요. 몇 가지 더 볼게요. log₁₀ 1000 = 3이에요. 10을 세 번 곱하면 1000이니까요. log₃ 81 = 4(3⁴ = 81), log₅ 0.04 = −2(5^-2 = 1/25 = 0.04), log₂ (1/8) = −3이에요. 진수가 1보다 작으면 로그는 음수가 되고, 어떤 밑이든 1을 얻으려면 0번 곱하면 되니 로그 1은 항상 0이에요.

로그는 거듭제곱의 반대 계산이에요. 덧셈의 반대가 뺄셈, 곱셈의 반대가 나눗셈이듯이 '거듭제곱해서 나온 결과'에서 '몇 번 곱했는지'를 되찾는 계산이에요. 진수는 0보다 커야 해요. 양수를 몇 번 곱해도 0이나 음수는 나오지 않으니까요.

상용로그와 자연로그

상용로그(log): 밑이 10인 로그예요. 밑을 생략하고 log라고만 써요. log 100 = 2, log 2 ≈ 0.3010, log 3 ≈ 0.4771이에요.
자연로그(ln): 밑이 e(약 2.71828)인 로그예요. ln 2 ≈ 0.6931, ln 10 ≈ 2.3026이에요. 자연에서 연속적으로 늘거나 줄어드는 현상을 다룰 때 식이 가장 간단해지는 밑이라서 과학과 공학에서 많이 써요.

상용로그는 자릿수와 바로 연결돼요. 1보다 크고 10보다 작은 수의 log는 0과 1 사이, 10 이상 100 미만은 1과 2 사이예요. 그래서 log 값의 정수 부분에 1을 더하면 그 수의 자릿수가 나와요. 공학용 계산기에서는 log와 ln 버튼이 따로 있으니 혼동하지 마세요. 버튼 위치와 기본 사용법은 공학용 계산기 사용법에 있어요.

로그 법칙 다섯 가지

법칙	예
log (a × b) = log a + log b	log 200 = log 2 + log 100 ≈ 0.3010 + 2 = 2.3010
log (a ÷ b) = log a − log b	log 0.05 = log 5 − log 100 ≈ 0.6990 − 2 = −1.3010
log (aⁿ) = n × log a	log (2⁵⁰) = 50 × 0.30103 ≈ 15.05
log 1 = 0, log 10 = 1	밑과 같은 수의 로그는 1
밑 바꾸기: logₐ b = log b ÷ log a	log₂ 1000 = 3 ÷ 0.30103 ≈ 9.966

곱셈이 덧셈으로, 거듭제곱이 곱셈으로 바뀐다는 점이 로그의 힘이에요. 계산기가 없던 시절에는 이 성질로 큰 수의 곱셈을 로그표의 덧셈으로 바꿔 계산했어요.

세 번째 법칙으로 2⁵⁰이 몇 자리 수인지 알 수 있어요. log 값이 15.0515…이니 정수 부분 15에 1을 더한 16자리 수예요. 소수 부분 0.0515로 10^0.0515를 계산하면 약 1.126이라서 앞자리가 1.12…로 시작한다는 것도 알 수 있어요. 실제로 2⁵⁰ = 1,125,899,906,842,624예요.

밑 바꾸기: 계산기에 없는 밑 계산하기

계산기에는 보통 log(밑 10)와 ln(밑 e)만 있어요. 밑이 2나 3인 로그는 밑 바꾸기로 구해요. 어떤 로그를 써도 결과가 같아요.

log₂ 1000 = log 1000 ÷ log 2 = 3 ÷ 0.30103 ≈ 9.966
같은 값을 ln으로: ln 1000 ÷ ln 2 = 6.9078 ÷ 0.6931 ≈ 9.966

2⁹ = 512, 2¹⁰ = 1,024이니 9와 10 사이라는 점에서 말이 되는 답이에요. 공학용 계산기에 log(1000)÷log(2)라고 그대로 입력하면 돼요.

생활 속 로그

지진 규모

지진 규모는 로그 눈금이에요. 규모가 1 커지면 지진파의 진폭은 10배, 방출되는 에너지는 약 10^1.5 ≈ 31.6배가 돼요. 규모 7과 규모 5는 숫자로는 2 차이지만 에너지는 31.6 × 31.6 ≈ 1,000배 차이예요. 숫자 차이가 작아 보여도 실제 크기 차이는 아주 커요.

데시벨(dB)

소리의 세기를 나타내는 데시벨은 10 × log(세기의 비)예요. 10dB이 오르면 소리 에너지의 세기는 10배, 20dB이 오르면 100배예요. 같은 세기의 소리 두 개가 겹치면 세기가 2배가 되니 10 × log 2 ≈ 3dB만 올라요. 60dB 소리 두 개를 합치면 120dB이 아니라 약 63dB이에요.

pH

pH는 수소 이온 농도에 상용로그를 씌우고 부호를 바꾼 값이에요. pH가 1 낮아지면 수소 이온 농도는 10배가 돼요. pH 4인 용액은 pH 6인 용액보다 수소 이온 농도가 10 × 10 = 100배 높아요. 25℃의 순수한 물은 pH 7이에요.

두 배가 되는 데 걸리는 횟수

어떤 양이 해마다 일정한 비율로 늘어 (1 + r)배씩 커진다면, 두 배가 되는 햇수 n은 (1 + r)ⁿ = 2에서 n = log 2 ÷ log (1 + r)이에요. 해마다 5%씩 늘면 0.30103 ÷ 0.02119 ≈ 14.2년, 8%씩 늘면 약 9.0년이에요. 72를 퍼센트 숫자로 나누는 어림법(72 ÷ 5 = 14.4)이 이 값과 비슷하게 맞는 것도 로그 때문이에요. 이 예는 복리처럼 불어나는 양의 계산 원리만 보여 주는 것이고, 실제 수치는 조건에 따라 달라져요. 연달아 변하는 비율의 계산은 증감률 계산 가이드에서도 볼 수 있어요.

20분마다 두 배로 늘어나는 세균 1마리가 100만 마리를 넘으려면 log₂ 1,000,000 = 6 ÷ 0.30103 ≈ 19.93이니 20번 늘어나야 해요. 20분 × 20 = 400분, 곧 6시간 40분이에요. 두께 0.1mm 종이를 반으로 계속 접는다고 하면(실제로는 몇 번 못 접지만) 23번 접으면 약 839m, 24번이면 약 1,678m가 되어 1km를 넘어요.

밤하늘 별의 밝기 등급도 로그 눈금이에요. 등급이 5 차이 나면 밝기는 정확히 100배 차이가 나도록 정했어요. 그래서 1등급 차이는 100의 5제곱근, 약 2.512배예요. 1등성은 6등성보다 100배 밝고, 2등급 차이는 2.512 × 2.512 ≈ 6.3배예요. 등급 차이는 2.5 × log(밝기의 비)로 구하니, 밝기가 100배면 2.5 × 2 = 5등급이에요.

흔한 실수

log (a + b)를 log a + log b로 풀어요. 덧셈이 되는 건 곱의 로그예요. log (2 + 3) = log 5 ≈ 0.699이고, log 2 + log 3 ≈ 0.778은 log 6이에요.
log와 ln을 바꿔 눌러요. log 100 = 2인데 ln 100 ≈ 4.605예요.
0이나 음수의 로그를 구해요. 정의되지 않아서 계산기가 오류를 보여 줘요.
log 2²와 (log 2)²를 섞어요. 앞은 2 × 0.3010 = 0.6021, 뒤는 0.3010 × 0.3010 ≈ 0.0906이에요. 괄호로 분명히 쓰세요.

자주 묻는 질문

로그는 실생활에서 왜 쓰나요?
값의 범위가 아주 넓을 때 한눈에 비교하기 좋아서예요. 1과 1,000,000을 같은 그래프에 그리기 어렵지만 log로는 0과 6이에요.

e는 왜 2.718…인가요?
(1 + 1/n)ⁿ에서 n을 끝없이 키우면 다가가는 값이에요. n이 1,000일 때 이미 약 2.7169가 나와요.

log 0은 얼마인가요?
정의되지 않아요. 진수가 0에 가까워질수록 log 값은 끝없이 작아져요.

계산기 없이 log를 어림할 수 있나요?
log 2 ≈ 0.3 하나만 외워도 많이 구할 수 있어요. log 4 = 2 × 0.3 = 0.6, log 8 ≈ 0.9, log 5 = 1 − 0.3 = 0.7, log 20 ≈ 1.3이에요.

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